III

Successioni di Farey

Analoga, per certi versi, alla successione di Fibonacci è quella dovuta a John Farey, un ingegnere meccanico inglese del secolo scorso, con l’hobby dello studio delle comete.

Una successione di Farey, F_n , è costituita da una sequenza di frazioni proprie (cioè già ridotte ai minimi termini, e con il numeratore maggiore di zero, ed inferiore al denominatore), ordinate per valori crescenti:

a₁/b₁ , a₂/b₂ , ... , a_k/b_k ,

tali che per ciascuna di esse valgano le diseguaglianze:

a_i < n ,

b_i  £ n ;

(per ovvi motivi, gli a_i non potranno mai essere pari ad n).

Ad esempio, si ha:

F₅ = {1/5 , 1/4 , 1/3 , 2/5 , 1/2 , 3/5 , 2/3 , 3/4 , 4/5} ;

Queste nove frazioni hanno tutte numeratore inferiore a 5, e denominatore minore od uguale a 5; sono tutte proprie, ed è facilmente verificabile che non ne esiste alcun altra che soddisfi tali proprietà.

Pensando ad una generica successione di Farey, ci si rende rapida­mente conto di un certo numero di proprietà:

a) la frazione 1/2 fa parte di qualunque successione di Farey F_n; difatti non può esistere una F₁, in quanto dovrebbe essere costituita dalla frazione 1/1, che non è propria; eliminata quindi F₁, è chiaro che i numeri 1 e 2 soddisfano alle condizioni di appartenenza ad una successione F_n, qualunque sia n>1;

b) con qualche ragionamento appena più complesso, si può dimostrare che la frazione 1/2 è centrale rispetto a qualsiasi F_n, da cui deriva imme­diatamente che ogni F_n è composta da un numero dispari di elementi;

c) numeratore e denominatore di una qualunque frazione interna ad una F_n sono ottenibili sommando, rispettivamente, i numeratori ed i denomi­natori delle due frazioni adiacenti (e, se è il caso, semplificando); ad esempio, nella serie F₅ vista poc’anzi, la frazione 2/3 è compresa fra le frazioni 3/5 e 3/4, e vale la relazione:

(3+3)/(5+4) = 6/9 = 2/3 ;

da questa proprietà deriva che, note la prima e la seconda frazione di una qualunque F_n è immediato costruire tutte le frazioni successive (un po’ come con la successione di Fibonacci);

d) la differenza fra due frazioni consecutive è pari all’inverso del prodotto dei rispettivi denominatori; prendendo ad esempio, nella successione già vista, le frazioni consecutive 2/3 e 3/5, si ha che:

2/3 - 3/5 = 10/15 - 9/15 = 1/15 = 1/(3·5) .

Una simpatica caratteristica delle successioni di Farey è che, detto N_n il numeri delle frazioni appartenenti ad una generica F_n, si ha:

lim (N_n - 3 n² / p²) = 0

al tendere all’infinito di n; ad esempio, per n=500 si ha:

3·500² / p² = 75,990.89 ,

N₅₀₀ = 76,115 .

I logaritmi di Pacioli

Come è altrove citato nel testo, Luca Pacioli, nella sua Summa de Arithmetica, si pone il problema di determinare dopo quale numero n di anni un capitale, depositato ad un interesse composto attivo r, risulti rad­doppiato, fornendo la risposta:

n = 0.72 / r ,

per dirla in termini moderni. Il francescano, invece, diceva:

A voler sapere ogni quantità a tanto per cento l’anno, in quanti anni sarà tornata dopia fra prodotto e capitale, tien per regola 72 a mente, quale sempre partirai per lo interesse, e quello che ne ven, in tanti anni saranno radopiati el capitale a far capo l’anno.

Naturalmente, si parla di 72 in quanto r è espresso come valore percentua­le; noi invece ci atteniamo all’uso (certamente meno ragionieristico) di indicare l’interesse in valore assoluto (un 8% diviene quindi 0.08).

Il problema consiste nella risoluzione dell’equazione esponenziale:

(1 + r)ⁿ = 2 ,

da cui deriva:

n = log 2 / log (1 + r) .

Nel caso di Pacioli, il problema consiste nel fatto che i logaritmi sarebbero stati inventati solo un secolo più tardi, ad opera di Nepero. Comunque, come ha giustamente fatto notare Giovanni Vacca (Atti della Reale Accademia delle Scienze di Torino, vol. 50, pagg. 289÷292), la formula proposta da Pacioli costituisce un’eccellente approssimazione nel caso che il rateo di interesse r valga 0.08 (per l’esattezza, 0.07847), ed è ipotizzabile che il nostro frate sia giunto a determinare il valore 0.72 a forza di tentativi. L’approssimazione diviene rapidamente peggiore per valori di r che si discostino da 0.078, come mostra il grafico seguente:

Il grafico mostra l’andamento della funzione

y = r · n = r · log 2 / log (1 + r) ,

cioè il valore del numero fisso utilizzato da Pacioli; tale funzione è pressoché lineare nell’intorno esaminato. La linearità deriva dal fatto che, per piccoli valori di r si ha:

log (1 + r) » r · (1 - r/2) ,

(è sufficiente calcolare lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo), e di conseguenza, sviluppando in serie ancora una volta:

 y » (1 + r/2) · log 2 .

 Dal fatto che l’espressione di Pacioli sia formalmente corretta per r=0.08, Giovanni Vacca derivò l’ipotesi che questo fosse il tasso di interesse attivo più comune ai tempi del nostro frate.

Beatrice ed il 9 ½

È interessante riportare la lista delle citazioni in rima (nove e mezzo, abbiamo detto!) del nome di Beatrice nella Comedia.

   Non so s’intendi: io dico di Beatrice;

tu la vedrai di sopra, in su la vetta

di questo monte, ridere e felice,

(Purgatorio, VI, 46÷48)

   Tanto dice di farmi sua compagna

che io sarò là dove fia Beatrice;

quivi convien che sanza lui rimagna.

(Purgatorio, XXIII, 127÷129)

   Guardaci ben! Ben son, ben son Beatrice.

Come degnasti d’accedere al monte?

Non sapei tu che qui è l’uom felice?

(Purgatorio, XXX, 73÷75)

   E tutto in dubbio dissi “Ov’è Beatrice?”.

Ond’ella “Vedi lei sotto la fronda

nova seder in su la sua radice”.

(Purgatorio, XXXII, 85÷87)

   Ma quella reverenza che s’indonna

di tutto me, pur per B e per ice,

mi richinava come l’uom ch’assonna.

   Poco sofferse me cotal Beatrice

e cominciò, raggiandomi d’un riso

tal, che nel foco farìa l’uom felice:

(Paradiso VII, 13÷18)

   per la similitudine che nacque

del suo parlar e di quel di Beatrice,

a cui sì comunciar, dopo lui, piacque:

(Paradiso, XIV, 7÷9)

   e tre fiate intorno di Beatrice

si volse con un canto tanto divo,

che la mia fantasia nol mi ridice.

(Paradiso, XXIV, 19÷21)

   Ahi quanto ne la mente mi commossi

quando mi volsi per veder Beatrice,

per non poter veder, benché io fossi ...

(Paradiso, XXV, 136÷138)

   a poco a poco al mio veder si stinse:

per che tornar con li occhi a Beatrice

nulla vedere e amore mi costrinse.

(Paradiso, XXX,13÷15)

Circa la mezza rima (Paradiso, VII,14), va notato che essa è la mediana fra le nove citate, ed in particolare la prima del Paradiso.

Stefano Breccia

(Continua sul prossimo numero)