I numeri nei millenni

di Stefano Breccia

* * *

I numeri nella storia dell’umanità

(seconda parte: 3.5)

la cultura dei numeri

___________

V

Curiosità con i numeri

Problemi angolari

In generale non si è in grado di dividere un dato angolo in un certo numero di parti uguali, usando solo riga e compasso; c’è soltanto una manciata di sparute eccezioni: è sempre possibile dimezzare un angolo (e, quindi, dividerlo in 2, 4, ..., 2ⁿ parti); si riesce a dividere l’angolo retto in tre parti, e così via. Ma il problema generale resta insoluto, e da ciò deriva probabilmente il fatto che si è sempre prestata scarsa attenzione ai problemi di sezione degli angoli. Nel seguito esamineremo alcuni casi abbastanza interessanti.

Il teorema di Morley

Dato un generico triangolo ABC, che cosa succede se si trisecano i suoi tre angoli (se, cioè, da ogni vertice si conducono le due semirette che dividono l’angolo relativo in tre parti uguali)? La figura seguente ci dà la risposta:

Cosa del tutto inattesa, qualunque sia il triangolo di partenza, l’opera­zione porta a costruire un triangolo DEF che è sempre equilatero! Benché il prof. Frank Morley, della John Hopkins University, abbia condotto numerosi studi ben più importanti, il suo nome è legato a questo teorema.

Gli angoli ai vertici nei poligoni regolari

Come si è detto altrove nel testo, dato un poligono regolare di n lati, le diagonali che partono da un vertice verso tutti gli altri dividono l’angolo al vertice in n-2 angoli fra loro uguali. Si tratta di una proprietà poco nota; quanto meno, essa era sconosciuta allo scrivente, che la ha intuita in una notte di febbre, l’ha verificata al computer fino a poligoni di 30 lati, e quindi l’ha dimostrata come segue. Facciamo riferimento alla figura:

Si tratta di un poligono regolare (in questo caso un ettagono, ma la cosa è inessenziale). Fissato un vertice, diciamo A, conduciamo le diagonali verso gli altri vertici; congiungiamo quindi il centro geometrico O del poli­gono con tutti i vertici (per non complicare il disegno, sono stati tracciati solo due di questi ultimi segmenti, OB ed OC).

È evidente che, rispetto alla circonferenza circoscritta al poligono, di centro O, gli angoli BOC e BAC sono, rispettivamente, angolo al centro ed angolo alla circonferenza insistenti sul medesimo arco BC; è noto che, a parità di arco, l’angolo al centro ha ampiezza doppia rispetto al corrispon­dente angolo alla circonferenza. Ma gli angoli che dal centro vedono gli archi identificati da vertici consecutivi sono tutti uguali fra loro (in quanto il poligono è regolare); di conseguenza i corrispondenti   angoli  alla  circonfe­renza  sono  parimenti  tutti

uguali fra loro.

q.e.d.

E ancora, l’angolo al vertice vale , ed è diviso, da n-3 diagonali, in n-2 angoli uguali, ciascuno quindi di ampiezza pari a p/n.

Di questo teorema, subito battezzato a furor di popolo “Teorema di Breccia”, mi sono giunte altre tre dimostrazioni, tutte diverse fra loro, dal prof. Carlo Someda dell’Università di Padova, dall’ing. Mauro Giaconi della nostra Reiss Romoli, e dal prof. Vladimir Serdjuk dell’Accademia delle scienze di Mosca. In particolare, l’ing. Giaconi mi ha confessato che l’in­tuizione della dimostrazione (analoga a quella qui presentata) gli si è presen­tata mentre, in autostrada, stava sorpassando un TIR: ulteriore esempio di quanto la geometria possa essere pericolosa...

Tracciando per il vertice la tangente al cerchio circoscritto al poligono (detta direttrice), questa forma con i due lati che confluiscono nel vertice due angoli, uguali per simmetria, che, come si verifica immediatamente, hanno ancora ampiezza pari a p/n:

Di conseguenza è possibile costruire un poligono regolare a partire da un suo vertice e dalla direttrice (e non necessariamente dal centro, come si fa di solito), proprietà probabilmente ben nota a molti selciatori medioevali.

Triangoli rettangoli

È ben noto che, dato un cerchio di centro O, preso un suo diametro AB ed un qualunque punto C sulla circonferenza, il triangolo ABC che risulta è retto in C; che cosa succede se si biseca l’angolo in C? La figura seguente fornisce la risposta:

La semiretta per C che biseca l’angolo retto passa sempre per il punto D, intersezione fra il cerchio e l’asse di AB; la dimostrazione è assai banale, una volta saputo che cosa accade; il processo inverso è più complesso...

Le figure impossibili

E, per finire, un rapido excursus nel campo delle figure impossibili: anche se a stretto rigore non si tratta di numeri, sono comunque oggetti simpatici.

Il primo esempio è uno strampalato scheletro di cubo, un cubo, cioè, i cui 12 spigoli hanno assunto spessore:

Evidentemente c’è qualcosa che non va nella sovrapposizione di un paio di spigoli (e, se è difficile scrivere un programma che rappresenti un poliedro cancellando gli spigoli invisibili, è ancora più difficile scrivere un programma che, oltre a fare ciò, sbagli “intelligentemente” in un paio di circostanze!).

Su questa falsariga ho costruito un’altra figura; anche se a prima vista pare ragionevole, basta osservarla un attimo per rendersi conto della sua impossibilità dello spazio a tre dimensioni.

L’idea mi è stata suggerita da The Magic Numbers of Dr. Matrix, dell’impareggiabile Martin Gardner, ed anche questo disegno ha richiesto diverse ore di programmazione. L’oggetto iniziale (prima dei tagli alle braccia) era il seguente:

Un altro esempio è costituito dalla celebre “scalinata” di Pemrose:

Provando a percorrere mentalmente la scalinata, ad esempio in salita, si scopre che non c’è un gradino più alto degli altri, ma che si continua a salire all’infinito, restando sempre sugli stessi gradini. M. C. Escher ha messo la scalinata di Pemrose al centro di due famose litografie, “Salendo e scendendo”, e “Cascata”.

Oggi, fra le figure impossibili che si incontrano comunemente in giro, c’è il logo della Renault:

Stefano Breccia

(continua nel prossimo numero)