I numeri nei millenni

di Stefano Breccia

* * *

I numeri nella storia dell’umanità

(terza parte: 1.1)

la cultura dei numeri

___________

V

   Appendice

Premessa

Questa terza parte conclude il libro. Nelle pagine precedenti, ho cercato di affrontare i vari temi in uno stile molto piano, evitando di entrare in dettagli tecnici, in quanto probabilmente una disamina puntigliosa non sarebbe stata bene accetta; questo testo non è stato pensato come un libro di matematica, né si presuppone un buon background scientifico nei suoi lettori; se avessi deciso di scrivere un libro di matematica lo stile sarebbe stato totalmente diverso, e le formule avrebbero probabilmente soverchiato il numero di parole in lingua italiana!

Ciò nonostante, ho la sensazione che diversi argomenti sono stati solamente sfiorati, e che ciò potrebbe lasciare insoddisfatti i lettori che si fossero attesi più dettagli in merito.

Questa terza sezione mira a coprire tale lacuna; devo premettere sin d’ora che si tratta di qualche cosa del tutto disomogenea, in quanto consiste banalmente in una serie di approfondimenti su temi che, ritengo, ne abbiano bisogno, al di là di quanto presentato nelle due precedenti sezioni.

Il tema che con maggiore evidenza richiede qualche ulteriore ponzamento è il Papiro Rhind, ed è questo il primo tema che verrà affrontato, analizzando in dettaglio i problemi che a parer mio sono presentati dalla Tavola di duplicazione, e tentando di ipotizzare in qual modo il redattore abbia potuto compiere un lavoro a prima vista titanico; presenterò i risultati cui sono giunti diversi studiosi (fra i quali anche il sottoscritto!), e spero che ciò possa essere di spunto per ulteriori lavori sull’argomento.

Segue poi una veloce trattazione dell’affascinante mondo dei frattali, i quali, a parer mio, sono destinati a modificare drasticamente il modo con cui oggi guardiamo alla matematica; la presentazione è sostanzialmente rivolta alle applicazioni che man mano stanno delineandosi per questi strani oggetti.

Il terzo capitolo è, di fatto, una miscellanea di diversi argomenti, il più delle volte totalmente slegati gli uni dagli altri; per ciascuno di essi è presentato un breve commento, volto o a fare chiarezza rispetto a quanto precedentemente detto, o a coprire qualche lacuna.

Finalmente presento alcuni programmi interessanti, scelti fra quelli che ho dovuto scrivere sia per costruire le tabelle, sia per realizzare la maggior parte dei disegni che si trovano in queste pagine. Mi scuso sin d’ora per il fatto che preferisco fare uso di un linguaggio di programmazione decisamente old-fashioned quale il FORTRAN IV, ma ritengo che questo linguaggio sia talmente schematico che qualunque lettore interessato non troverà problemi a tradurre i miei programmi nel linguaggio preferito.

Prima della Bibliografia ho creduto buona idea inserire un lessico, cioè una lista dei nomi più significativi che appaiono qua e là, insieme con una breve spiegazione, od una corta biografia della persona che essi rappresentano.

Quindi la Bibliografia, ed una breve biografia di me stesso; la mia megalomania avrebbe richiesto una puntigliosa e dettagliata descrizione degli eventi della mia vita, le mie conferenze, le attività estremamente importanti che mi hanno visto protagonista su tutta la faccia della terra (e anche oltre?), gli eco degli entusiasmi che mi accolgono dovunque io faccia la mia comparsa, ma sono sicuro che si tratta di cose ben note, per cui non valeva la pena di indulgervi (!).

Può forse essere invece divertente presentare un ultimo spunto auto biografico. Tempo addietro mi sono imbarcato nel folle compito di realizzare una versione inglese di questo testo, e con molta incoscienza ho deciso che avrei provveduto io stesso alla traduzione, nella convinzione che si sarebbe trattato di una cosa veloce. Dopo cinque mesi di duro lavoro, mi sono dovuto rendere conto che era stato quasi più semplice scrivere la versione italiana. Mesi trascorsi immerso fra i dizionari della Britannica, della American Peoples Encyclopedia, col Webster’s sempre a portata di mano. Ma, ad esempio, ho dovuto rinunciare sin dai primi tentativi all’idea di fornire decenti traduzioni dei passi danteschi (si tratta di un linguaggio arduo anche per i lettori italiani, come è ben noto), per cui ho pensato bene di acquistare una versione inglese della Comedia, onde attingere al lavoro di traduttori ben più esperti di me, ma anche questo è risultato essere un compito più complesso del previsto: ho trovato l’Inferno all’aeroporto Heathrow di Londra (in una libreria, visto che la frase è leggermente ambigua!), il Purgatorio a Manhattan, ed il Paradiso in una libreria di Pittsburgh; fortunatamente i tre libri facevano parte di un’unica opera, ma non li ho trovati insieme in nessun negozio.

Sempre a proposito di questa infame traduzione, ovviamente sono incorso in molti errori di cui mi sono reso conto solo in un secondo  tempo  (e Dio solo sa in quanti altri che non  sono  poi

riuscito a scovare). Uno dei più divertenti è occorso allorché ho tradotto il nome “Venere uranica” con “Uranic Venus”. Fortunosamente ho poi scoperto che, tanto per cominciare, in questo contesto nei paesi anglosassoni viene usato il nome Aphrodite, poi, ben più importante, che il termine “uranic”significa “fatta di uranio”! Uno splendido esempio di traduzione maccheronica.

Nella edizione inglese concludo invitando i lettori a segnalarmi gli svarioni di cui non mi sono reso conto; in queste pagine invito al compito, più significativo, di volermi far conoscere eventuali commenti e suggerimenti, ringraziando sin d’ora.

La tavola di duplicazione del papiro Rhind

Come è stato detto precedentemente, il papiro Rhind contiene un interessante esempio di una tavola di duplicazione per frazioni a numeratore unitario. Per tutti i dispari N fra 3 e 101, la tavola riporta due, tre o quattro numeri, che rappresentano i denominatori delle frazioni le quali, sommate insieme, danno un totale pari a . A differenza da altre tavole di duplicazione, quella presentata nel papiro Rhind è esaustiva, nel senso che contiene tutti i numeri dell’intervallo indicato; inoltre, per ogni numero, viene presentata solo una soluzione, scelta fra tutte le possibili.

La tavola contiene 50 righe, ciascuna delle quali corrisponde ad un numero dispari compreso fra 3 a 101 e, a parte l’anomala prima riga, 28 righe contengono soluzioni a due termini, 13 soluzioni a tre termini, e ben 8 righe presentano soluzioni a quattro termini. Ho detto che la prima riga è anomala in quanto la scomposizione proposta consiste in una sola frazione ripetuta due volte, dando così origine ad un risultato rappresentato dal geroglifico 2/3, il quale è anomalo di per sé. La logica, in questo caso, avrebbe richiesto:

2/3=1/2+1/6

Il geroglifico 2/3 è comunque abbastanza frequente all’interno del papiro Rhind, e ciò può forse costituire una spiegazione per l’anomalia. Particolarmente interessante è, poi, l’ultima riga. Segue una lista del contenuto di questa tavola di duplicazione (i numeri fra parentesi sulla destra costituiscono soluzioni che dovrebbero essere preferibili).

           3              3                3                                          (2    6)

           5              3              15

           7              4              28

           9              6              18

         11              6              66

         13              8              52           104

         15            10              30                                          (12   20)

         17            12              51              68

         19            12              76              14                         (10  190)

         21            14              42

         23            12            276

         25            15              75

         27            18              54

         29            24              58            174     232

         31            20            124            155                         (16  496)

         33            22              66

         35            30              42

         37            24            111            296

         39            26              78

         41            24            246            328

         43            42              86            129     301

         45            30              90                                          (36   60)

         47            30            141            470

         49            28            196

         51            34            102

         53            30            318            795

         55            30            330                                          (40   88)

         57            38            114

         59            36            236            531

         61            40            244            488     610

         63            42            126

         65            39            195

         67            40            335            536

         69            46            138

         71            40            568            710

         73            60            219            292     365

         75            50            150                                          (60  100)

         77            44            308

         79            60            237            316     790

         81            54            162

         83            60            332            415     495

         85            51            255

         87            58            174

         89            60            356            534     890

         91            70            130

         93            62            186

         95            60            380            570                         (60  228)

         97            56            679            776

         99            66            198

       101          101            202            303     606

         63            42            126

         65            39            195

         67            40            335            536

         69            46            138

         71            40            568            710

         73            60            219            292     365

         75            50            150                                          (60  100)

         77            44            308

         79            60            237            316     790

         81            54            162

         83            60            332            415     495

         85            51            255

         87            58            174

         89            60            356            534     890

         91            70            130

         93            62            186

         95            60            380            570                         (60  228)

         97            56            679            776

         99            66            198

       101          101            202            303     606

Va notata la particolare soluzione scelta per 101: tutti i denominatori sono multipli di 101.

La tabella che seguirà fra breve, al contrario, è un estratto da una tavola esaustiva (che ha richiesto una diecina di minuti di elaborazione da parte di un PC con un processore 486) dove, per (quasi) tutti i dispari fra 3 e 101, sono riportate tutte le possibili soluzioni in due o tre termini. In altre parole, dato N, sono state trovate tutte le coppie I e J (ammesso che esistano), tali che:

Va notata la particolare soluzione scelta per 101: tutti i denominatori sono multipli di 101.

La tabella che seguirà fra breve, al contrario, è un estratto da una tavola esaustiva (che ha richiesto una diecina di minuti di elaborazione da parte di un PC con un processore 486) dove, per (quasi) tutti i dispari fra 3 e 101, sono riportate tutte le possibili soluzioni in due o tre termini. In altre parole, dato N, sono state trovate tutte le coppie I e J (ammesso che esistano), tali che:

2/N=1/I+1/J,

e tutte le terne I, J, K (ammesso che esistano), tali che:

2/N=1/I+1/J+1/K,

La duplice interpolazione “ammesso che esistano” è necessaria in quanto, per alcuni numeri, sono richieste soluzioni basate su quattro termini, in altre parole non esistono soluzioni con solo due o tre termini. Ad esempio, per N=61, la soluzione più semplice è:

2/61=1/40+1/244+1/488+1/610,

e pertanto la mia tabella non contiene il numero 61.

Il programma che ho scritto, cercando una soluzione in due termini, testa se, per un qualunque J fra 2 e 1000, l’equazione:

restituisce un valore intero per la I; in corrispondenza di ogni valore di N, quindi, viene compiuto un migliaio di tentativi.

Allorché si cerca una soluzione in tre termini, una subroutine verifica se, per ogni I fra 0 e 999, e per ogni J appartenente allo stesso intervallo (in effetti l’algoritmo è un po’ più efficiente), l’equazione:

ha soluzioni  intere; per ogni N, quindi, sono necessarie circa un milione di tentativi. Dato che N appartiene all’insieme dei dispari fra 3 e 101, il programma fa all’incirca 50 milioni di tentativi nella ricerca dell’esistenza di soluzioni intere; pensando ai casi con tre termini  (evidentemente con una complessità di tre ordini di grandezza maggiore di quella precedente), ogni tentativo richiede 5 moltiplicazioni, una sottrazione, ed una divisione (più un’altra moltiplicazione per verificare se il quoziente è intero), e quindi, tagliando i numeri con l’accetta, la tavola seguente ha richiesto, più o meno, 350 milioni di operazioni aritmetiche elementari, con operandi sempre minori di 1,000, ma con risultati intermedi che possono raggiungere il valore di un milione.

Questa tabella consta di 1,344 diverse soluzioni, nessuna delle quali è a quattro termini.

Queste considerazioni sono intese come introduzione ad una considerazione che a prima vista può parere totalmente assurda: il papiro Rhind fornisce, per ogni N, una sola soluzione con due, tre o quattro termini; è quasi sempre evidente la logica usata dal redattore nello scegliere una particolare soluzione fra tutte quelle equivalenti.

Ripeto, il mio programma genera solo soluzioni al più con tre termini, e pertanto alcuni numeri mancano nella tavola; se avessi voluto estendere le operazioni al fine di ricercare anche le soluzioni in quattro termini ciò avrebbe significato moltiplicare per più di mille il numero di operazioni aritmetiche, ed il numero di soluzioni sarebbe aumentato in maniera analoga. Quindi, all’incirca, un programma del genere (che, cioè, elencasse tutte le possibili soluzioni a quattro termini) richiederebbe un migliaio di miliardi di operazioni aritmetiche.

Ovviamente Ahmose (o chi per lui) ha certamente fatto uso di strumenti aritmetici diversi da quelli che io ho usato, e grazie a lui, quelle cinquanta linee scritte in demotico su di un papiro constituiscono realmente l’ottava meraviglia del mondo! È ovviamente impossibile fare un migliaio di miliardi di operazioni aritmetiche con carta e matita (o con calamo e papiro), per cui è necessario ipotizzare l’uso di qualche criterio differente. E in effetti, poco alla volta, qualcuno dei misteri del papiro Rhind stanno venendo rivelati (grazie anche ad altri materiali, su papiro, su cuoio, su ostraka). Ma comunque ciò significa che, attorno alla fine del secondo millennio, dopo aver già inviato alcuni uomini sulla luna, ci troviamo ancora nella circostanza di tentare di scoprire in qual modo un oscuro Ahmose, quattro mila anni addietro, possa essere stato in grado di scrivere quelle cinquanta righe.

Nella tavola seguente, un asterisco sulla sinistra marca la particolare soluzione scelta dall’anonimo compilatore (colui che ha realizzato l’opera originale, dalla quale Ahmose ha ricopiato il papiro Rhind).

Come ho già detto, questa tabella è assai grande, pertanto, invece di inserirla qui nella sua totalità, ho preferito presentare solamente le soluzioni trovate per il numero 21; credo che anche così si possa avere un’idea delle dimensioni del problema, e una sensazione circa i criteri che hanno guidato l’estensore nella scrittura della sua modesta tabella. Tali criteri sono sei o sette in tutto; i più importanti possono essere riassunti nella frase seguente:

Fra tutte le soluzioni possibili, preferire quella che presenta il minor numero di  denominatori dispari, i denominatori più piccoli, ed il minor numero di termini.

              Queste regole sono sempre state rispettate, all’incirca nella sequenza indicata, con qualche ulteriore perfezionamento per discriminare fra soluzioni equivalenti.

Nel papiro Rhind è abbastanza evidente l’utilizzo della cosiddetta “regola G” in quasi tutti i casi con due soli termini (le uniche eccezioni riguardano i numeri 35 e 91); ad esempio, nelle prime righe:

1/3+1/(5·3) = 6·1/3÷5 = 2/5 ,

1/4+1/(7·4) = 8·1/4÷7 = 2/7 ,

1/6+1/(3·6) = 4·1/6÷3 = 2/9 ,

e così via; in tutti questi casi, k dev’essere dispari, cosicché, quando si applica la formula:

1/n+1/(k·n) = (k+1) ·1/n÷k ,

il numero k+1 è pari; inoltre (k+1)/2 deve dividere esattamente il prodotto ; questo quoziente, q, è dato da:

in alcuni casi (i primi due esempi), questo quoziente coincide con k; pertanto k può venire calcolato come:

k = 2·n - 1 ;

se indichiamo con I, J, N i tre denominatori che compaiono nella formula:

2/N = 1/I + 1/J ,

possiamo calcolarli tramite le espressioni:

I = n ,

J = n·(2·n - 1) ,

N = 2·n - 1 ;

se ricerchiamo nel papiro le implementazioni di questo algoritmo, scopriamo i suoi risultati solamente per N uguale a 5, 7, 11 e 23; per N=9 il papiro propone:

2/9 = 1/6 + 1/18 ,

invece di:

2/9 = 1/5 + 1/45 ,

dove entrambi i denominatori sono dispari, e, per di più, 45>18. Per N=9 troviamo q=3·k, mentre per la soluzione proposta per N=15, risulta che q=5·k, e così via.

Ma, per N=13, viene preferita una soluzione più elegante, in tre termini:

2/13 = 1/8 + 1/52 + 1/104 ,

invece dell’unica soluzione con due soli termini:

2/13 = 1/7 + 1/9 ,

caratterizzata da denominatori entrambi dispari; nell’ambito delle dodici possibili soluzioni con tre termini, soltanto sei hanno denominatori tutti pari, e fra queste ultime la soluzione indicata presenta il minimo possibile valore per il denominatore maggiore.

Tentiamo un approccio diverso; dato N, cerchiamo due interi, I e J, il primo dei quali sia un multiplo di N (cioè, ); in altre parole, applichiamo la formula:

2/N-1/(K·N)=1/J ,

da cui:

Per fissare le idee, partiamo da N=5, e proviamo con diversi valori di K; troveremo la terna proposta dal papiro già al secondo tentativo:

                        K       num.    den.    J

                       2        10        3       -

                       3        15        5       3

                       4        20        7       -

                       5        25        9       -

possiamo quindi concludere che:

2/5 = 1/3 + 1/15 ;

proviamo ora con N=7:

                        K       num.    den.    J

                       2        14        3       -

                       3        21        5       -

                       4        28        7       4

                       5        35        9       -

e così in soli quattro tentativi abbiamo trovato due soluzioni diverse:

2/9 = 1/18 + 1/6 ,

2/9 = 1/45 + 1/5 .

Benché l’algoritmo sembri invitante, sarebbe ora necessario calcolare fino a quando bisogna condurre i tentativi; ovviamente il valore minimo accettabile è J_min=2, ma provando a risolvere per K l’espressione di J si ha:

che diviene negativa non appena N>4; e difatti, per l’anomala frazione 2/3 si avrebbe l’unico sviluppo:

2/3 = 1/6 + 1/2 ;

al crescere di N si deve pertanto aumentare anche J_min; per J_min=3 si ha:

per cui l’unico valore accettabile per N è N=5, da cui K_max=3, e quindi ci saremmo potuti risparmiare i tentativi successivi al secondo.

Dato che:

per ogni valore di N si ha che J_min ³ N/2, e quindi si può calcolare K_max.

Ho scritto un programmino che implementa questo algoritmo; facendo variare N fra 3 e 101, per valori dispari, il programma ha trovato le 73 soluzioni con 4,081 operazioni aritmetiche (ho contato solo le operazioni necessarie al calcolo di I e di J, non quelle richieste dal resto del programma). È però possibile una ulteriore semplificazione; dato che:

I = K · N < 1000 ,

risulta un secondo valore per K_max :

K_max = 1000 / N ;

ho quindi modificato il programma, in modo tale da fargli scegliere, per ogni N il più piccolo fra i due valori di K_max calcolati secondo le formule precedenti; in questo modo, il numero di operazioni elementari si è abbassato fino a 1,957.

Naturalmente il  programma  non  è stato in grado di  trovare

 abbiamo trovato che:

2/7 = 1/28 + 1/4 ;

proviamo con N=9:

                        K       num.    den.     J

                       2        18         3        6

                       3        27         5         -

                       4        36         7         -

                       5        45         9        5

né le duplicazioni in tre o quattro frazioni, né gli unici due sviluppi in due termini che nella nostra tabella non seguono la “regola G”:

2/35 = 1/30 + 1/42 ,

2/91 = 1/70 + 1/130 .

Immaginando che lo sconosciuto redattore non fosse soddisfatto delle soluzioni trovate per N=35 ed N=91, ho scritto una versione modificata del programma che, solo per questi due numeri, provvede a cercare brutalmente coppie di numeri adatte alla bisogna. Con questa variante, il numero di operazioni elementari sale a 2,329; in compenso vengono trovati i due sviluppi proposti dal redattore.

Comunque, quest’ultima soluzione non mi piace: chi garantiva, difatti, il compilatore dell’esistenza di soluzioni migliori rispetto a quelle già trovate? Se il nostro avesse sempre dovuto cercare tutte le possibili coppie, nella speranza di trovare una soluzione migliore di quella fornita dall’applicazione della “Regola G”, gli sarebbero stati necessari diversi milioni di operazioni, contro le circa due mila richieste up to now.

Provando ad esaminare in dettaglio questi due casi anomali, ho trovato che per essi vale un’altra regoletta aritmetica, che a questo punto mi sento in diritto di chiamare “Regola B”! Se il valore di N è esprimibile come il prodotto di due numeri:

N = A · B ,

si può cercare (se esiste) un numero K tale che:

e:

 (A + B) / K = 2 ,

da cui:

K = (A + B) / 2 .

In entrambi i casi anomali, la “Regola B” funziona egregiamente; nel primo, difatti, si ha:

35 = 5 · 7 ,

K = (5 + 7) / 2 = 6 ,

2/35 = 1/30 + 1/42 ;

nel secondo caso:

91 = 7 · 13 ,

K = (7 + 13) / 2 = 10 ,

2/91 = 1/70 + 1/130 .

Va da sé che è necessario che A e B siano entrambi pari od entrambi dispari. Ovviamente non è detto che la soluzione trovata usando la “Regola B” sia necessariamente migliore di quella trovata mediante la “Regola G”; ad esempio, per N=39 si ha:

39 = 3 · 13 ,

K = 8 ,

2/39 = 1/24 + 1/104 ,

che è peggiore di quella riportata sul papiro:

2/39 = 1/26 + 1/78 .

Al contrario, per N=15, la soluzione fornita dalla “Regola B” è decisamente migliore di quella scelta dal compilatore:

2/(3·5) = 1/(4·3) + 1/(4·5) = 1/12 + 1/20 ,

il compilatore aveva proposto:

2/15 = 1/10 + 1/30 .

Analogamente:

2/95 = 2/(5·19) = 1/60 + 1/228 ,

che pare preferibile rispetto a quella proposta:

2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570 .

La suddivisione in somme di tre termini pare più complessa, ma in realtà è più semplice di quanto appaia a prima vista. Prendiamo ad esempio:

2/37 = 1/24 + 1/111 + 1/296 ;

Scrivendo i tre denominatori decomposti (ove possibile) in prodotti di due numeri, si vede che, ad esempio:

2/37 = 1/24 + 1/(3·37) + 1/(8·37) =

= (37 + 8 + 3) / (24·37) = 48 / (24·37) .

L’algoritmo che è dietro a formule di questo tipo è un’estensione della “Regola B”;  consiste nel trovare due numeri, A e B, tali che:

2/N = 1/(A ·B) + 1/(A·N) + 1/(B·N) ,

dal che consegue che deve essere:

A + B + N = 2 · A · B .

Già così il problema si riduce di due ordini di grandezza, in quanto è sufficiente ricercare due soli numeri, anziché tre. Proviamo a determinare fra quali limiti vadano ricercati A e B.

L’espressione precedente, trasposta sul continuo, corrisponde all’iperbole:

(A - ½) · (B - ½) = N + 2 ,

talché, dovendo ovviamente A e B essere interi, si ha:

,

essendo ovviamente A e B simmetrici fra loro.

Un altro programma, esaminando separatamente i 13 casi per i quali il papiro presenta soluzioni a tre frazioni, in 1,314 operazioni aritmetiche elementari, è stato in grado di trovare risposta ai casi N=17, 31, 37, 59, 67, 97, quindi ad un po’ meno della metà. Il problema consiste nel fatto che, per potere essere veramente generale, la formula iniziale dovrebbe venire riscritta come:

2/N = k/(A·B) + 1/(A·N) + 1/(B·N) .

Ad esempio, per N=13 abbiamo:

2/13 = 1/8 + 1/(4·13) + 1/(8·13) ,

quindi, per mantenere il simbolismo dell’ultima formula, k=4.

Purtroppo, anche così non sempre si riesce a trovare tutte le soluzioni. Ad esempio:

2/95 = 1/60 + 1/(4·95) + 1/(6·95) ,

e non c’è nessun valore intero di k per cui questa espressione possa essere ricondotta alla precedente. In tutti i casi è bene tenere d’occhio il numero 60, il quale, oltre a comparire in questo sviluppo, è di fatto presente in quattro delle duplicazioni che vedono coinvolte quattro frazioni.

Tornando ad N=95, la soluzione proposta pare chiamare in causa quattro termini, in luogo dei tre visti sino ad ora; scomponendo ogni denominatore si ha difatti:

2/(5·19)= 1/(3·4·5) + 1/(4·5·19) + 2/(3·4·5·19) ,

con l’ulteriore anomalia dell’ultimo numeratore, diverso da uno. Si direbbe che, una volta trovata la scomposizione 95=5·19, il compilatore abbia cercato due altri numeri (3 e 4), tali da fare tornare i conti.

Un’altra possibilità (che, bisogna confessare, non ha altri supporti che quanto scritto in queste note) parte dal confronto fra la scomposizione trovata dal mio programma, e quanto scritto dal redattore:

2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570 = 1/60 + 1/228 ;

immaginiamo per un attimo che tutti questi numeri siano noti (a noi lo sono, al redattore certamente no); si ha:

1/380 + 1/570 = 1/228 ,

1/(2·5·38) + 1/(3·5·38) = 1/(2·3·38) ,

che può ricondursi, semplificando, a:

1/10 + 1/15 = 1/6 ,

ottenibile direttamente facendo uso della “Regola B”:

1/(2·5) + 1/(3·5) = 1/(2·3) ;

si potrebbe ipotizzare il procedimento inverso, a partire dalle:

1/6 = 1/10 + 1/15 ,

2/95 = 1/60 + 1/228 ,

1/(6·38) = 1/(10·38) + 1/(15·38) ,

2/95 = 1/60 + 1/380 + 1/570 ,

ma, ripeto, non c’è alcun indizio in merito, che io sappia.

Ricapitolando, ho aperto questo capitolo dichiarando che il Papiro Rhind è una sorta di ottava meraviglia del mondo, e che miliardi di operazioni aritmetiche paiono essere state necessarie per scriverlo. Alla fine di questo capitoletto spero di essere stato in grado di dimostrare che dietro a quel papiro c’è una serie di abilità aritmetiche che, uniche, ne hanno reso possibile la redazione. Quindi, dopo tutto, non sono stati necessari miliardi di operazioni, né programmi per calcolatori, meno che mai magia od alieni. Ma questa constatazione non mi impedisce di continuare a sostenere che il Papiro Rhind è una vera ottava meraviglia del mondo, proprio a causa delle conoscenze matematiche che vi sono state nascoste dentro per così tanti millenni.

(Continua sul prossimo numero)