I numeri nei millenni
IV
di Stefano Breccia
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I numeri nella storia dell’umanità
(terza parte: 1.2)
la cultura dei numeri
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Approfondimenti 1
In questo capitolo conclusivo ho raggruppato alcuni approfondimenti che sarebbero stati probabilmente fuori luogo all’interno del testo precedente, e che vanno quindi visti, per l’appunto, come un’Appendice rivolta ai lettori più esigenti. Data l’intrinseca disomogeneità dei vari temi, non si può cercare una linea logica, che evidentemente è assente.
Il metodo del “falso scopo”
Si tratta di un algoritmo per la risoluzione di equazioni di primo grado in una incognita; consiste nel dare un valore arbitrario all’incognita, calcolare quanto verrebbe a valere il termine noto, e quindi correggere di conseguenza il valore arbitrario scelto. A titolo di esempio, esaminiamo il problema no. 24 del papiro Rhind. L’equazione proposta è:
x + 1/7 x = 19 .
Lo scriba attribuisce arbitrariamente alla x il valore 7, e quindi calcola:
7 + 1/7 · 7 = 8 .
Il valore scelto è quindi sbagliato per 19/8, che lo scriba calcola essere pari a 2+1/4+1/8, dandone la dimostrazione:
8 · (2 + 1/4 + 1/8) = 16 + 2 + 1 = 19 ;
si passa quindi a correggere il valore arbitrario di 7, moltiplicandolo per il rapporto trovato:
7 · (2 + 1/4 + 1/8) = 16 + 1/2 + 1/8 ,
che è la soluzione voluta dell’equazione, scritta secondo i criteri egiziani per i numeri frazionari (la parte intera, seguita, in questo caso, da due frazioni entrambe binarie)
Le progressioni geometriche in Egitto
Per “progressione (o serie, o successione) geometrica” si intende una sequenza di numeri tali che il rapporto fra due qualunque numeri consecutivi sia costante. Ad esempio, la successione
4 12 36 108 314 972
è una progressione geometrica di rateo 3 (il rapporto fra ogni numero ed il precedente), valore iniziale 4, composta di sei termini.
Le leggi che regolano le progressioni geometriche non sono particolarmente immediate, in quanto abbondano di esponenziali e, di conseguenza, di logaritmi. Dal punto di vista degli egizi, invece, le successioni geometriche avevano degli indubbi pregi, primo fra tutti il richiamare i processi di divisioni o moltiplicazioni successive per 2, usati estensivamente durante i calcoli. In particolare, la successione:
1 2 4 8 16 32 64 128 256 ...
che parte da 1, ed ha un rapporto costante di 2 fra ogni termine ed il precedente, è alla base dell’aritmetica egizia (e, per la cronaca, dell’informatica contemporanea). Una importante proprietà delle progressioni geometriche, e quindi di questa, che è alla base dei meccanismi aritmetici usati nell’Egitto classico, è che se un numero intero può essere espresso come somma di un certo numero di termini distinti di una serie geometrica, nessun’altra combinazione di termini da questa serie potrà dare come somma il numero di partenza.
Il problema 79 del Papiro Rhind chiede di calcolare la somma dei primi cinque elementi di una progressione geometrica di rateo 7, il cui primo elemento vale 7.
Il problema ricorda molto una filastrocca in uso nell’Europa settentrionale (Andando a St. Ives incontrai un uomo con sette mogli; ogni moglie aveva sette gatti ...); nel caso riportato sul papiro Rhind la distribuzione è la seguente:
7 case
49 gatti
343 topi
2,401 misure di farro
16,807 hekat di grano
La somma dei termini della serie, pari a 19,607, è stata ottenuta attraverso la moltiplicazione seguente (riportata sul papiro):
1 2,801
2 5,602
4 11,204
da cui, sommando, risulta il totale voluto. Il procedimento di calcolo risulta evidente se si prova a calcolare le somme parziali Si:
S1 = 7 ,
S2 = 7 + 49 = 7 · (1 + 7) = 56 ,
S3 = 7 + 49 + 343 = 7 · (1 + 56) = 399 ,
S4 = 7 + 49 + 343 + 2,401 = 7 · (1 + 399) = 2,800 ,
S5 = 7 + 49 + 343 + 2,401 + 16,807 = 7 · (1 + 2,800) =
= 19,607 .
In pratica Ahmose (o chi per lui) ha applicato la formula:
Si = 7 · (1 + Si-1) ,
la quale deriva dalla constatazione (sempre valida in questo tipo di progressioni) che:
Si = Si-1 + ri =
= r + r2 + ... + ri-1 + ri =
= r · (1 + r + ... ri-1) =
= r · (1 + Si-1) ,
indicando con r il rateo della progressione (7 nel nostro caso). La moltiplicazione è stata trasformata in una somma, grazie alla proprietà:
7 = 1 + 2 + 4 .
Non è chiaro da dove lo scriba abbia tratto il numero 2,800, pari ad S4; probabilmente lo avrà dedotto da una tavola preesistente, non riportata sul papiro.
Sistemi di secondo grado in Egitto
Stranamente, parrebbe che in Egitto fossero presenti conoscenze che oggi definiremmo algebriche; la cosa è strana a seguito dell’evidente pragmaticità di buona parte di ciò che ci è rimasto dall’epoca dei faraoni; si hanno comunque notevoli eccezioni, una delle quali è mostrata di seguito; si tratta di un testo, riportato da un papiro del Cairo (J.E. 89127-30), risalente a qualche secolo avanti Cristo.
In buona sostanza, il problema proposto richiede che si risolva il sistema:
x · y = A ,
x2 + y2 = d2 .
Il problema è posto, e risolto, come segue (dopo ogni frase riporteremo il significato algebrico di quanto viene affermato):
Un terreno rettangolare di 60 cubiti quadrati; la sua diagonale è 13 cubiti. Quanto sono i suoi lati?
x · y = A = 60 ,
Devi contare 13 volte 13, il risultato è 169.
d2 = 169 .
Devi contare 60 due volte; il risultato è 120.
2 · x · y = 2 · A = 120 .
Devi aggiungerlo a 169; il risultato è 289.
d2 + 2 · A = 289 .
Estrai la radice quadrata; il risultato è 17.
Prendi l’eccesso di 169 su 120, che vale 49.
x2 + y2 - 2 · x · y = (x - y)2 = 49 .
Estrai la radice quadrata; risultato 7.
x - y = 7 .
Sottrailo da 17, il resto è 10.
(x + y) - (x - y) = 2 · y = 10 .
Prendine la metà; il risultato è 5.
y = 5 .
Sottrai 5 da 17, il resto è 12; è la lunghezza.
(x + y) - y = x = 12 .
Il papiro prosegue con la verifica che i due valori trovati per x ed y soddisfano effettivamente ai dati del problema. Parrebbe evidente, dal procedimento risolutore, che lo scriba fosse a conoscenza delle due relazioni:
(x + y)2 = x2 + y2 + 2 · x · y ,
e:
(x - y)2 = x2 + y2 - 2 · x · y .
L’irrazionalità di
La dimostrazione classica risale ai Pitagorici, ed è condotta per
assurdo. Se
fosse commensurabile, dovrebbero esistere due numeri interi, a e
b, tali che:
a ÷ b =
.
Immaginiamo che il rapporto a÷b sia ridotto ai minimi termini e che quindi a e b siano reciprocamente primi. Quadrando si ha:
a2 = 2 b2 .
Dato che a2 è pari, a deve essere pari, in quanto se fosse dispari si avrebbe:
a = 2 n + 1 ,
e:
a2 = 4 n2 + 4 n + 1 ,
che è dispari. Se a è pari, dato che non ha divisori comuni con b, evidentemente b deve essere dispari. Ma, se a è pari, si può scrivere:
a = 2 c ,
a2 = 4 c2 = 2 b2 ,
quindi:
2 c2= b2 ,
e quindi b è pari, in contrasto con l’affermazione precedente,
secondo la quale b è dispari. L’assurdo deriva dall’aver
accettato che sia
commensurabile, e quindi esprimibile come rapporto di due interi
reciprocamente primi.
Il Teorema di Pitagora
Segue la dimostrazione classica del Teorema di Pitagora, così come normalmente insegnata oggi nelle scuole. Data la figura:
il triangolo ABC è retto per definizione, ed ABFG, ACKH, BCED sono i quadrati costruiti, rispettivamente sui due cateti e sull’ipotenusa. Si conduce da A la perpendicolare al lato DE (che interseca in M il lato BC), si congiunge A con D, ed F con C.
I due triangoli BAD e BCF sono uguali; difatti FB è pari ad AB, BC è pari a BD, l’angolo CBF è pari a 90° più l’angolo CBA, e la stessa cosa può dirsi per l’angolo ABD. Essendo uguali i due triangoli, si avrà:
FC = AB .
(in queste espressioni intendiamo le lunghezze dei lati, non i lati in quanto tali).
L’area del rettangolo BMLD è il doppio dell’area del triangolo BAD (hanno basi ed altezze rispettivamente uguali); analogamente l’area del rettangolo (in effetti un quadrato) ABFG è pari al doppio di quella del triangolo BCF, quindi al doppio dell’area del triangolo BAD, e di conseguenza è pari all’area del rettangolo BMLD.
Analogamente si può dimostrare che l’area del quadrato ACKH è pari all’area del rettangolo CELM, e quindi, sommando membro a membro, che:
la somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti è pari all’area del quadrato costruito sull’ipotenusa.
L’algoritmo di Euclide per il m.c.d.
Per massimo comun divisore (m.c.d.) fra due interi a e b si intende il più grande intero c che divide esattamente sia a che b; logica vorrebbe che si scomponessero i due numeri dati in fattori primi, e che quindi si ricavasse c come prodotto dei fattori primi comuni. Ad esempio, se a=1,584 e b=748, si avrebbe:
a = 1,584 = 24 · 32 · 11 ,
b = 748 = 22 · 11 · 17 ,
per cui, essendo comuni i fattori 22 ed 11, si avrebbe:
c = 22 · 11 = 44 .
In realtà spesso la scomposizione di un numero in fattori primi rischia di essere un processo abbastanza lungo. Soccorre in questo caso l’algoritmo di Euclide (Elementi, VII, prop. 1), che prende le mosse dall’affermazione che, dati due interi a e b, con a>b, è sempre possibile trovare altri due interi, c e d, tali che:
a = b · c + d .
Partendo da a e b si determina d; se d>0, si ripete il calcolo rimpiazzando a con b, e b con d; allorchè d=0, l’ultimo valore che aveva ricevuto b è il m.c.d. cercato. Nel nostro caso:
1584 = 748 · 2 + 88 ,
748 = 88 · 8 + 44 ,
88 = 44 · 2 + 0 ,
per cui il m.c.d. risulta essere 44.
(Continua sul prossimo numero)